4. Алгоритм определения вектора состояния наблюдателя по данным измерений псевдодальности и псевдоскорости

     Обозначим через фактическое время приема сигнала от i-го НКА, которое отличается от шкалы времени системы GPS на величину :

(4)     ,

     Связь истинной дальности и измеренной псевдодальности до i-го НКА в момент излучения сигнала определяется соотношением:

(5)     ,

где - ошибка в синхронизации часов приемника относительно шкалы времени системы, - ионосферная ошибка измерения, - случайная составляющая ошибки измерения псевдодальности, - скорость света.

     Для измеренного значения псевдоскорости справедливо следующее соотношение:

(6)     ,

где - истинное значение радиальной скорости, - величина, равная сдвигу частоты генератора НКА и гетеродина приемника, умноженная на длину волны L1, - случайная составляющая ошибки измерения псевдоскорости.

     Рассмотрим инерциальную систему координат, направление осей которой совпадает с направлением осей подвижной системы координат WGS-84 на момент времени . Будем считать, что в некоторой окрестности момента регистрации сигнала связь вектора положения в системе WGS-84 и инерциальной системе координат описывается следующем соотношением:

(7)     ,

где , .

     Легко видеть, что соотношение для связи скоростей имеет следующий вид:

(8)     ,

     Вывод соотношений для обратного перевода очевиден, учитывая, что , .

     Предположим , что в течение половины интервала времени накопления сигнала скорость наблюдателя постоянна. Пусть , - положение и скорость i-го НКА в момент времени соответственно, а , - положение и скорость наблюдателя в инерциальной системе координат. Тогда подставив в (5) и (6) выражение истинной дальности и радиальной скорости с учетом времени распространения сигнала и используя (4) получаем следующие соотношения:

(9)    
     ,

(10)     ,

где - , время распространения сигнала.

     Обозначим через , момент одновременной регистрации измерений, тогда используя n одновременных измерений псевдодальности и псевдоскорости можно составить следующую систему уравнений:

(11)     , .

     Зная модель движения наблюдателя, и решив систему (11), можно найти вектор положения , вектор скорости в инерциальной системе и неизвестные параметры: .

     Система (11) решается в два этапа. Сначала находится приближенное решение системы, а потом при избыточности измерений оно уточняется методом наименьших квадратов. Необходимо отметить, что система однозначно разрешима при количестве измерений не менее чем от пяти КА.

     Предположим, что наблюдатель неподвижен. С учетом этого предположения положим и .
Определим положение наблюдателя и уточним ошибку в определении скорости за счет - разности по времени в регистрации измерений псевдодальности и псевдоскорости.

     Пренебрегая учетом времени распространения сигнала и ионосферной ошибкой в уравнениях для псевдодальности системы (11), запишем систему уравнений в виде:

(12)     , , .

     Система (12) явно решается при наличии измерений от 4 НКА. Для ее решения используем алгоритм, предложенный в [4]. Необходимо отметить, что первое уравнение системы (10) решается неоднозначно и в итоге мы имеем два решения системы:

(13)     , , , , .

     Рассмотрим алгоритм устранения неоднозначности решения. Для этого используем измерения от пяти НКА следующим образом.

     Для каждой четверки НКА из пяти имеющихся ищется два решения (13). Таких пар решений будет . Далее применим следующий алгоритм разделения решений на два множества. На первом шаге алгоритма первая пара решений (13) распределяется по двум множествам произвольным образом.

     На k-ом шаге (k<5), получаем пару решений (13). Среди этих двух решений ищем то, у которого вектор положения , наиболее приближен к среднему одного из множеств. Найденное решение относим к этому множеству, а второе решение к другому множеству.

     Итак, мы получили два множества со средними значениями компонент вектора положения, скорости и двух дополнительных искомых параметров и . Из каждого множества удаляются те решения, у которых хотя бы одна компонента вектора положения или скорости лежит за пределами . Далее для каждого множества вычисляется среднеквадратичная ошибка по каждому из параметров. Выбирается то множество, где модуль вектора среднеквадратичной ошибки по положению меньше.

     В качестве начального приближения решения системы (11) берутся средние значения компонент вектора положения, скорости, и выбранного множества:

(14)     , , , .

     По ходу проведения вычислительных экспериментов выяснилось, что значение имеет порядок . Т.к. гарантированная точность одновременного приема сигнала имеет порядок , то в качестве начального приближения поправки времени регистрации сигнала целесообразно использовать нулевое значение, т.е. .

     Итак, мы получили приближенное решение системы (11) по одновременным измерениям не менее чем от 5 НКА.

     Уточним найденное приближенное решение системы (11) методом наименьших квадратов [2]. Как и в случае с системой (12), пренебрежем ионосферной ошибкой измерений и составим следующую систему:

(15)     ,
.

     Обозначим вектор неизвестных параметров через и

(16)     ,

(17)     ,
.

     Тогда вектор . является решением системы (15) в смысле метода наименьших квадратов в том случае, если функция

(18)    

достигает своего минимума. Здесь , , .

     Минимум функции (18) будем искать итерационным методом. На каждой итерации будем уточнять решение с использованием линейной модели. Найдем параметры этой модели.

     Пусть

(19)     , ,

(20)     , ,

где , ,

(21)     , .

     Легко видеть, что:

(22)     ,

(23)    
,

(24)     ,

(25)     ,

(26)     ,

(27)     ,

(28)     ,

(29)     ,

(30)     .

     В качестве нулевого приближения используем приближенное решение (14) и
.

     Для начала итерационного процесса необходимо определить значения следующих параметров: , , и .

     Для каждой итерации выполняются следующие действия.

1. Последовательно решаются системы уравнений:

(31)     .

(32)     .

2.

(33)     , , .

(34)     , , .

3. Если и , где - наперед заданные точности, то алгоритм завершается на шаге k, иначе происходит переход к следующему шагу.

     В конце итераций мы получаем решение системы уравнений (15):

(35)     , .

     Таким образом, описан алгоритм, который позволяет по одновременным измерениям псевдодальности и псевдоскорости не менее чем от пяти НКА определить вектор состояния наблюдателя, фазовый сдвиг псевдошумовой последовательности, смещение доплеровской частоты и время регистрации сигнала.

Назад | Оглавление | Далее

Версия PDF: ftp://ftp.kiam1.rssi.ru/pub/gps/lib/publications/preprint36_01.pdf